本稿では、Excelのワークシート関数を用いて、オプションのグリークスの計算およびグリークスを用いた損益分析を行う。
グリークスの計算式
オプション価格を予想するために、グリークスというパラメータが用いられる。主に用いられるグリークスとして、デルタ\(\varDelta\)、ガンマ\(\varGamma\)、ベガ\(\mathcal V\)およびセータ\(\varTheta\)がある。
デルタ\(\Delta\)は、原資産価格の変化に対するオプション価格の変化率であり、次のように表される。ここで\(N(x)\)は標準正規分布の累積分布関数である。
・コールの場合
\(\quad\varDelta_C=\dfrac{\partial C}{\partial S}=e^{-q(T-t)}N(d_1)\)
・プットの場合
\(\quad\varDelta_P=\dfrac{\partial P}{\partial S}=-e^{-q(T-t)}N(-d_1)\)
ただし、
\(\quad N(z)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^{z}e^{-\frac{y^2}{2}}dy \)
\(\quad d_1=\dfrac{ln(\dfrac{S}{K})+(r+\dfrac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\)
\(\quad d_2=\dfrac{ln(\dfrac{S}{K})+(r-\dfrac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}=d_1-\sigma\sqrt{T-t}\)
\(\quad S\)：原資産価格、\(K\)：権利行使価格、\(r\)：無リスク利子率、\(\sigma\)：ボラティリティ、
\(\quad T\)：満期日、\(t\)：現在
ガンマ\(\varGamma\)は、原資産価格の変化に対するデルタ\(\Delta\)の変化率であり、コールとプット共通の式で次のように表される。ここで\(N'(x)\)は標準正規分布の確率密度関数である。
\(\quad\varGamma=\dfrac{\partial\varDelta_C}{\partial S}=\dfrac{\partial^2 C}{\partial S^2}=e^{-q(T-t)}\dfrac{N'(d_1)}{S\sigma\sqrt{T-t}}=Ke^{-r(T-t)}\dfrac{N'(d_2)}{S^2\sigma\sqrt{T-t}}\)
\(\quad N'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\)
ベガ\(\mathcal V\)は、ボラティリティが1%変化したときのオプション価格の変化率であり、コールとプット共通の式で次のように表される。
\(\quad\mathcal V=\dfrac{\partial C}{\partial\sigma}=\dfrac{Se^{-q(T-t)}N'(d_1)\sqrt{T-t}}{100}=\dfrac{Ke^{-r(T-t)}N'(d_2)\sqrt{T-t}}{100}\)
セータ\(\varTheta\)は、1日経過後のオプション価格の変化量であり、次のように表される。
・コールの場合
\(\quad\varTheta_C (1年間)=-e^{-q(T-t)}\dfrac{SN'(d_1)\sigma}{2\sqrt{T-t}}-rKe^{-r(T-t)}N(d_2)+qSe^{-q(T-t)}N(d_1)\)
\(\quad\varTheta_C=\dfrac{\varTheta_C (1年間)}{1年間の日数}\)
または
\(\quad\varTheta_C=\dfrac{\varTheta_C (1年間)}{1年間の取引日の数}\)
・プットの場合
\(\quad\varTheta_P (1年間)=-e^{-q(T-t)}\dfrac{SN'(d_1)\sigma}{2\sqrt{T-t}}＋rK^{-r(T-t)}N(-d_2)-qSe^{-q(T-t)}N(-d_1)\)
\(\quad\varTheta_P=\dfrac{\varTheta_P (1年間)}{1年間の日数}\)
または
\(\quad\varTheta_P=\dfrac{\varTheta_P (1年間)}{1年間の取引日の数}\)
Excelスプレッドシートでのグリークスの計算
日経225オプションを例に、Excelスプレッドシートを用いて、グリークスのシミュレーターを作る。
無リスク利子率として、代表的な新発10年物日本国債利回りを用いる。2026年８月12日終値の2.850%より、\(r=\)0.0285とする。
配当利回りとして、日経225の平均予想配当利回りの1.61%より、\(q=\)0.0161とする。
ボラティリティは、市場の動向により変動する。証券会社のオプション価格一覧に、オプションタイプ(コール、プット)、権利行使価格毎に、IV(インプライドボラティリティ)が記載されているので、これを用いるとよい。本稿では28%、\(\sigma\)=0.28とした。
標準正規分布の累積分布関数および確率密度関数は、NORM.S.DIST関数を用いる。
\(\quad標準正規分布=NORM.S.DIST(z,関数形式)\)
関数形式は、“TRUE”を入力することで累積分布関数となり、“FALSE”と入力することで確率密度関数となる。
\(T-t\)は満期までの日数を表す、１年間を1とするので、次のように計算する。
\(\quad T-t=\dfrac{満期までの日数}{}=\dfrac{満期までの日数}{365}\)
分子の(満期までの日数)の計算は、Days関数を用いる。開始日は現在、終了日はSQ日を設定する。
\(\quad満期までの日数=DAYS(終了日,開始日)\)
計算例を以下に示す。
セルC14～C19に\(\varDelta_C\)、\(\varDelta_P\)、\(\varGamma\)、\(\mathcal V\)、\(\varTheta_C\)および\(\varTheta_P\)が計算されている。
オプション取引の損益の分析
昨日と今日の原資産価格をそれぞれ\(S_{yesterday}\)、\(S_{today}\)、昨日と今日のボラティリティをそれぞれ\(\sigma_{yesterday}\)、\(\sigma_{today}\)として、取引後の損益\(P/L\)への各グリークスの寄与分を計算して、損益の分析に用いることができる。
\(\quadデルタ\varDeltaの寄与分:P/L_{\varDelta}=\varDelta(S_{today}-S_{yesterday})\)
\(\quadガンマ\varGammaの寄与分:P/L_{\varGamma}=\dfrac{\varGamma}{2}(S_{today}-S_{yesterday})^2\)
\(\quadベガ\mathcal Vの寄与分:P/L_{\mathcal V}=\mathcal V(\sigma_{today}-\sigma_{yesterday})\)
\(\quadセータ\Thetaの寄与分:P/L_{\varTheta}=\varTheta\)
\(\quadその他の寄与分:P/L_{Other}=P/L-(P/L_{\varDelta}+P/L_{\varGamma}+P/L_{\mathcal V}+P/L_{\varTheta})\)
複数のポジションを所有している場合は、それぞれのポジションで各グリークスの寄与分を分析する。
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