本稿では、ボラティリティが権利行使価格や時間により変動する様子を、ボラティリティスマイルやボラティリテイサーフィスを描くことで示した。
ボラティリティスマイル
2026年10月限の日経225オプションを例に説明する。「オプションシミュレータを作る(1)」では、コールオプション価格を入力パラメーターに用いて、ATMより高い権利行使価格のボラティリティの計算を行った。ATMより低い権利行使価格について、プットオプション価格を入力パラメーターに用いて、ボラティリティの計算を行えばよい。
日経225オプションを例に説明する。8月22日の取引終了後の2026年9月限の日経225オプションのボラティリティを計算した。オプション価格として、ATM以上はコールオプション価格を、ATM以下はプットオプション価格を入力パラメーターに用いた。各権利行使価格のボラティリティを計算したので、データと共にグラフに示した。
なお、各パラメーターはセルD2～D9、権利行使価格\(K\)はC列12行目以降、オプションのタイプはD列12行目以降、オプション価格\(C\)はE列12行目以降、計算したボラティリティ\(\sigma\)はF列12行目以降に記載した。権利行使価格によりボラティリティが変化する様子が分かる。
また、グラフには計算したボラティリティの回帰曲線を示した。回帰曲線として3次関数を設定した。Excelワークシート関数LINEST関数とINDEX関数を組み合わせ、3次関数のそれぞれの係数を求めた後、40,000～90,000円まで500円毎の権利行使価格のボラティリティを計算した。下図のセルD24～27に\(c_1～c_4\)の各係数、その右に計算式を示した。
3次関数 \(y=c_1x^3+c_2x^2+c_3x+c_4\)の回帰曲線の係数は以下の式で求める。
\(INDEX(LINEST(Y,X\)^\(\){\(1,2,3\)}\(),1,m)\)
\(X: x\)のデータの組
\(Y: y\)のデータの組
\(m: \)1,2,3 or 4で係数\(c_1,c_2,c_3,c_4\)にそれぞれ対応。
Worksheet関数のの意味は以下になる。
\(LINEST(Y,X\)^\(\){\(1,2,3\)}\()\)は、3次関数の係数を{\(c_1,c_2,c_3,c_4\)}の配列として返す。
\(INDEX(範囲(配列),行番号,列番号)\)は、配列の各要素を取り出す。
ちなみに、n次関数 \(y=c_1x^3+c_2x^2+…+c_ｍ\)の回帰曲線の係数は以下の式で求める。
\(INDEX(LINEST(Y,X\)^{\(1,2,…,n\)}\(),1,l)\)
\(X: x\)のデータの組
\(Y: y\)のデータの組
\(l: 1,2,…\) or \(m\)で係数\(c_1,c_2,…,c_ｍ\)にそれぞれ対応。
筆者は、権利行使価格5,000円毎の現実のオプション価格を元に、３次関数の回帰曲線を求めた後、500円毎の権利行使価格のボラティリティを算出して、取引に利用している。
ボラティリティサーフィス
また、ボラティリティを権利行使価格、満期までの期間毎に3次元グラフにしたものをボラティリティサーフィスという。
事例として、2026年9月限の日経225オプションのボラティリティを権利行使価格40,000～90,000円、１週間毎にデータ化およびグラフ化したので以下に示す。権利行使価格と日付によりボラティリティが変動する様子が分かる。
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